圈图平面 Turán 数的改进下界

图 $H$ 的平面 Turán 数记为 $ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$，是指不含 $H$ 作为子图的 $n$ 顶点平面图的最大边数。本文继续研究由 Dowden [J. Graph Theory 83 (2016) 213--230] 开创的“极值”平面图课题。我们首先对所有 $k\ge 13$ 且 $n\ge 5(k-6+\lfloor{(k-1)}/2\rfloor)(k-1)/2$ 得到了 $ex_{_\mathcal{P}}(n,C_k)$ 的改进下界；对每个 $k$ 和 $n$ 的构造给出了对 Ghosh、Gy\H{o}ri、Martin、Paulos 和 Xiao [arxiv:2004.14094v1] 猜想的一个更简单的反例，该猜想最近已被 Cranston、Lidick\'y、Liu 和 Shantanam [Electron. J. Combin. 29(3) (2022) \#P3.31] 对所有 $k\ge 11$ 且 $n$ 充分大（作为 $k$ 的函数）反驳。然后我们证明对所有 $k\ge 5$ 且 $n\ge |H|+1$ 有 $ex_{_\mathcal{P}}(n,H^+)=ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$，其中 $H\in\{C_k, 2C_k\}$ 且 $H^+$ 是通过向 $H$ 中一个度为二的顶点添加一条悬挂边得到的。