三种配置的平面Türán数

图$H$的平面Türán数记作$ex_{\mathcal{P}}(n,H)$，指$n$顶点$H$-自由平面图的最大边数。当$H$较大时(例如,$H$为长路径或长循环)时，$ex_{\mathcal{P}}(n,H)$的精确值仍是谜题，而许多小型平面图(如循环、路径、$\Theta$-图以及其他由它们的并集形成的小图)已建立紧密界限。其中一种代表性图是$K_1+L$其中$L$为无孤立点的线性森林。先前的工作解决了$L$为路径或匹配的情况。在本工作中，我们首先研究当$L$为$P_2$与$P_3$的不相交并集时，图$K_1+L$的平面Türán数。等价地，$K_1+L$表示由$C_3$与$\Theta_4$组合构成的特定配置。我们进一步考虑由$C_3$与$\Theta_4$组合而得的所有图的平面Türán数。在六种可能的此类配置中，有三种已在之前的工作中解决。对于剩余的三种配置(包括$K_1+(P_2\dot{\cup}P_3)$)，我们给出紧密界限。此外，我们完全刻画了剩余两个配置的所有极端图。