准双星的平面图案数

给定图形H，我们称不包含H为子图的图为H-free图。图形H的平面图案数，记为$ex_{\mathcal{P}}(n, H)$，是指在n个顶点的平面H-free图中边数的最大值。(h,k)准双星$W_{h,k}$，由路径$P_3=v_1v_2v_3$通过在顶点$v_1$和$v_3$分别添加h个叶子和k个叶子得到，属于蝴蝶树的一个子类。本文研究了$ex_{\mathcal{P}}(n,W_{h,k})$ for all $1\le h\le 2\le k\le 5$，并获得一些紧密的界$ex_{\mathcal{P}}(n,W_{h,k})\leq\frac{3(h+k)}{h+k+2}n$ for $3\le h+k\le 5$，当$(h+k+2)\mid n$时等价成立，以及$ex_{\mathcal{P}}(n,W_{1,5})\le \frac{5}{2}n$当$12\mid n$时等价成立。我们还表明了$\frac{9}{4}n\le ex_{\mathcal{P}}(n,W_{2,4})\le \frac{5}{2}n$和$\frac{5}{2}n\le ex_{\mathcal{P}}(n,W_{2,5})\le \frac{17}{6}n$。