七元环的平面 Turán 数

平面 Turán 数 $ex_\mathcal{P}(n,H)$ 是指不含 $H$ 作为子图的 $n$ 顶点平面图的最大边数。极值平面图这一主题由 Dowden（2016）开创。他给出了 $ex_\mathcal{P}(n,C_4)$ 与 $ex_\mathcal{P}(n,C_5)$ 的紧上界。随后，D. Ghosh 等人给出了 $ex_\mathcal{P}(n,C_6)$ 的紧上界，并提出了关于 $k\geq 7$ 时 $ex_\mathcal{P}(n,C_k)$ 的猜想。本文中，我们给出紧上界 $ex_\mathcal{P}(n,C_7)\leq {18\over 7}n-{48\over 7}$，其满足 D. Ghosh 等人的猜想。结果表明，该上界对 $ex_\mathcal{P}(n,\{K_4,C_7\})$（不含 $K_4$ 或 $C_7$ 作为子图的 $n$ 顶点平面图的最大边数）同样紧。