圈图平面图兰数的一种新构造

平面图兰数 ${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_k)$ 是指不含长度为 $k$ 的圈的 $n$ 顶点平面图的最大边数。设 $k\ge 11$ 且 $C,D$ 为常数。Cranston、Lidick\'y、Liu 与 Shantanam \cite{2021Planar} 以及独立的 Lan 与 Song \cite{LanSong} 证明了对于大 $n$ 有 ${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_k)\ge 3n-6-\frac{Cn}{k}$。此外，Cranston 等人猜想当 $n$ 较大时 ${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_k)\le 3n-6-\frac{Dn}{k^{\lg_23}}$。在本注记中，我们证明了对每个 $k$ 均有 ${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_k)\ge 3n-6-\frac{6\cdot 3^{\lg_23}n}{k^{\lg_23}}$。这表明 Cranston 等人的猜想本质上是最优的。