多项式增长图与拟树上首达渗流的严格单调性

1993年 van den Berg 与 Kesten 证明了 $\mathbb{Z}^d$（$d \ge 2$）上首达渗流的严格单调性定理：给定两个具有有限均值的概率测度 $\nu$ 与 $\tilde{\nu}$，若 $\tilde{\nu}$ 比 $\nu$ 严格更具变异性且 $\nu$ 在适当意义下为亚临界，则 $\tilde{\nu}$ 对应的时间常数严格小于 $\nu$ 对应的时间常数。本文对（未必几乎传递的）严格多项式增长图以及与树拟等距且满足我们称为“容许绕行”的某种几何条件的有界度图证明了类似结果。还证明了若有界度图不容许绕行，则关于变异性的此类严格单调性定理不成立。我们展示了大类图容许绕行，并得出结论：例如，任意不与 $\mathbb{Z}$ 的标准 Cayley 图同构的 virtually nilpotent 群的 Cayley 图均满足关于变异性的严格单调性，任意 $F \rtimes F_k$（$F$ 为非平凡有限群、$F_k$ 为自由群）的 Cayley 图亦如此。此外，证明了对于严格多项式增长图和与树拟等距的有界度图，若权重测度在适当意义下亚临界，则其“关于测地线期望经验测度绝对连续”。这意味着无论图是否容许绕行，关于测度随机占优的严格单调性定理均成立。