$\mathbb{F}_q [T]$中除数函数的方差与相关性，以及Hankel矩阵

我们证明了在$\mathcal{A} := \mathbb{F}_q [T]$（其中$q$是素数的幂）中短区间上除数函数方差的精确公式。对证明稍作调整，我们得到了形如$d(A) d(A+B)$的相关性的精确公式，其中我们对$A$和$B$在$\mathcal{A}$的某些区间上取平均。我们还考虑了形如$d(KQ+N) d (N)$的相关性，其中$Q$是素数，$K$和$N$在某些区间上取平均。如果$\mathrm{deg } K < \mathrm{deg } Q -1$，则这些相关性出现在Dirichlet $L$-函数第四矩的非对角项中。我们考虑了$\mathrm{deg } K \geq \mathrm{deg }Q -1$的情况，并得到了相关性的精确公式。此外，我们证明了在给定的$K$和$N$范围内，$d(KQ+N)$和$d (N)$是不相关的。我们解决这些问题的方法是使用$\mathbb{F}_q$上加法特征的正交性，将问题转化为涉及$\mathbb{F}_q$上Hankel矩阵秩的问题。本文的大部分内容致力于证明这些矩阵的秩和核结构的若干结果，从而展示它们的数论性质。我们简要讨论了将我们的方法扩展到区间上的高于二阶（方差）的矩、$k$阶除数函数，以及除数函数的相关性及其在函数域中Dirichlet $L$-函数矩上的应用。