$\mathbb{F}_q [T]$ 上薄椭圆环域中的格点方差

对固定的互素多项式 $U,V \in \mathbb{F}_q [T]$(其次数奇偶性不同)以及一般多项式 $A \in \mathbb{F}_q [T]$,定义算术函数 $S_{U,V} (A)$ 为 $A$ 形如 $UE^2 + VF^2$(其中 $E,F \in \mathbb{F}_q [T]$)的表示个数。我们研究 $S_{U,V}$ 在 $\mathbb{F}_q [T]$ 中短区间上的均值与方差,这可解释为薄椭圆环域中格点均值与方差的函数域类比,其中椭圆的缩放因子为有理数。我们的主要结果是一个方差的渐近公式,即便区间长度相对于区间中心绝对值保持恒定也成立。就格点而言,这意味着我们在所谓“局部”或“微观” regime 下得到方差,其中环域面积相对于内半径保持恒定。我们还得到了几乎所有其他区间长度的渐近或精确公式,并观察到短区间与长区间边界处的一些有趣现象。我们的方法是此前用于除子函数与受限平方和函数的加性特征与 Hankel 矩阵,本文进一步发展了关于 Hankel 矩阵的结果。