具有周期 Hessian 的等边格上随机凹函数 I：熵与拉普拉斯算子

我们证明，若平均 Hessian 满足特定条件，则在等边格上具有周期 Hessian 的随机凹函数有二次缩放极限。我们考虑等边格 $\mathbb L$ 上所有凹函数 $g$ 的集合，这些函数被 $n \mathbb L$ 中元素平移时，增加的是一个线性函数（该条件等价于 $g$ 的 Hessian 的周期性）。我们将此集合模去常数加法后，等同于凸多面体 $P_n(s)$，其中 $s$ 对应平均 Hessian。我们证明 $P_n(s)$ 的 $\ell_\infty$ 直径以下界 $c(s) n^2$ 为界，其中 $c(s)$ 是仅依赖于 $s$ 的正常数。我们的主要结果是：对任意 $\epsilon_0 > 0$，在 $P_n(s)$ 中不被边长为 $2 \epsilon_0 n^2$、以唯一的（模去线性项加法）Hessian 为 $s$ 的二次多项式为中心、维数为 $n^2$ 的立方体 $Q$ 所包含的所有点的归一化 Lebesgue 测度，当 $n \to \infty$ 时趋于 $0$。