蜂窝及其他晶格上随机Lipschitz函数的对数离域化

我们研究有限连通图顶点上的随机单Lipschitz整数函数 $f$，其按权重 $W(f) = \prod_{\langle v, w \rangle \in E} \mathbf{c}^{ \mathbb{I} \{ f(v) = f(w) \} }$ 采样，其中 $\mathbf{c} \geq 1$，并受边界条件限制。对于平面图，这可以说是最简单的“二维随机游走模型”，证明此类模型到高斯自由场（GFF）的收敛性是一个主要开放问题。我们的主要结果是：对于蜂窝晶格（以及一些其他立方平面图）的子图，在平坦边界条件与 $1 \leq \mathbf{ c } \leq 2$ 下，此类函数表现出对数涨落。这与GFF预测一致，并改进了P. Lammers的非定量离域化结果。证明通过水平集渗流论证进行，包括一个重正化不等式与水平集环的二分定理。在另一方向上，我们证明当连线FK-Ising模型在 $p=1-1/\mathbf{c}$ 下在同一晶格上渗流时（对应于蜂窝晶格上 $\mathbf{c} > 2 + \sqrt{3}$），随机Lipschitz函数具有有界方差。通过一个简单耦合，这也意味着——或许令人惊讶——随机同态在菱形晶格上是局域化的。