具有周期 Hessian 的等边格点上的随机离散凹函数

受与随机矩阵、Littlewood-Richardson 系数和拼贴的联系的启发，我们研究等边格点上的随机离散凹函数。我们证明具有固定平均值 $-s$ 的周期 Hessian 的此类函数集中在一个二次函数附近。我们考虑等边格点 $\mathbb L$ 上所有凹函数 $g$ 的集合，当由 $n \mathbb L$ 的元素平移时具有周期离散 Hessian，周期为 $n \mathbb L$。我们加上一个 Hessian 为 $s$ 的凸二次函数；该和随后以 $n \mathbb L$ 为周期，并将其视为环面 $\mathbb{T}_n := \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$ 的顶点集 $V(\mathbb{T}_n)$ 上均值为零的函数 $g$，其 Hessian 受控于 $s$。得到的半凹函数集合构成一个凸多面体 $P_n(s)$。$P_n(s)$ 的 $\ell_\infty$ 直径以下界 $c(s) n^2$ 为界，其中 $c(s)$ 为仅依赖于 $s$ 的正常数。我们的主要结果是，在某些条件下（例如当 $s_0 = s_1 \leq s_2$ 时满足），对任意 $\epsilon > 0,$ 若 $g$ 从 $P_n(s)$ 上的均匀测度抽样，则有 $$\lim_{n \rightarrow 0} \mathbb{P}\left[\|g\|_\infty > n^{\frac{7}{4} + \epsilon}\right] = 0$$。每个 $g \in P_n(s)$ 对应于一种蜂窝。我们也获得了关于这些的集中结果。