有界值域函数的局部 Lipschitz 滤波器及其在任意实值函数上的应用

我们研究实值函数 $f: V \to [0,r]$ 的 Lipschitz 性质的局部滤波器，其中 Lipschitz 性质是相对于任意无向图 $G=(V,E)$ 定义的。我们给出了关于 $\ell_1$-距离与 $\ell_0$-距离均近乎最优的局部 Lipschitz 滤波器。先前的工作仅考虑了 $[n]^d$ 上无界值域的函数。Jha 与 Raskhodnikova（SICOMP `13）给出了此类函数的一个查找复杂度关于 $d$ 是指数的算法，Awasthi 等人（ACM Trans. Comput. Theory）证明在该设定下这是必要的。我们证明局部 Lipschitz 滤波器的重要应用可通过有界值域函数的滤波器实现。对于函数 $f: [n]^d\to [0,r]$，我们规避了该下界，并对 $\ell_1$-保持滤波器取得了 $(d^r\log n)^{O(\log r)}$ 的运行时间，对 $\ell_0$-保持滤波器取得了 $d^{O(r)}\text{polylog } n$ 的运行时间。我们的局部滤波器提供了一种可局部实现的新型 Lipschitz 扩展。此外，我们展示我们的算法在定义域 $\{0,1\}^d$ 上对 $r$ 具有近乎最优的依赖性。另外，我们的下界解决了 Awasthi 等人提出的一个开放问题，去除了他们针对一般值域下界所需的条件之一。我们通过从无分布 Lipschitz 测试到自适应算法困难性证明新技术的归约来证明下界。我们给出了局部滤波器在任意实值函数上的两个应用。在第一个应用中，我们将它们与差分隐私的 Laplace 机制及含噪二分搜索结合，以提供私密释放黑盒函数输出的机制，即便存在恶意客户端。在第二个应用中，我们利用局部滤波器获得了首个非平凡的 Lipschitz 性质容忍测试器。