各阶光滑性下凸优化的近最优下界

我们研究高度光滑凸函数的优化复杂度。对于正整数 $p$，我们希望找到一个凸函数 $f$ 的 $\epsilon$-近似极小值，给定对函数及其前 $p$ 阶导数的预言机访问权限，并假设 $f$ 的 $p$ 阶导数满足 Lipschitz 条件。最近，三个独立的研究小组（Jiang 等人，PLMR 2019；Gasnikov 等人，PLMR 2019；Bubeck 等人，PLMR 2019）开发了一种新算法，以 $\tilde{O}(1/\epsilon^{\frac{2}{3p+1}})$ 次预言机调用解决了该问题（对于常数 $p$）。已知该结果对于确定性算法是最优的（至多相差对数因子），但针对随机算法的已知下界与该界不匹配。我们证明了一个新的下界，其与该界相匹配（至多相差对数因子），且不仅适用于随机算法，也适用于量子算法。