在球内思考：极大损失的最小化近最优算法

我们刻画了针对凸的 Lipschitz 函数 $f_1,\ldots, f_N$ 最小化 $\max_{i\in[N]} f_i(x)$ 的复杂度。对于非光滑函数，现有方法需要 $O(N\epsilon^{-2})$ 次一阶预言机查询以计算一个 $\epsilon$-次优点，若 $f_i$ 是 $O(1/\epsilon)$-光滑的则需要 $\tilde{O}(N\epsilon^{-1})$ 次查询。我们开发了复杂度界改进的算法：非光滑情形下为 $\tilde{O}(N\epsilon^{-2/3} + \epsilon^{-8/3})$，在 $O(1/\epsilon)$-光滑情形下为 $\tilde{O}(N\epsilon^{-2/3} + \sqrt{N}\epsilon^{-1})$。我们的方法由一个近期提出的球优化预言机加速算法（我们对其做了改进）以及针对 softmax 函数的该预言机的细致实现组成。我们还证明了一个预言机复杂度下界为 $\Omega(N\epsilon^{-2/3})$，表明我们对 $N$ 的依赖在多项式对数因子内是最优的。