全新局面：用于矩阵博弈与平滑函数最大值最小化的原始加速方法

我们设计了在 $d$ 维欧氏或单纯形域上最小化 $\max_{i\in[n]} f_i(x)$ 的算法。当每个 $f_i$ 为 $1$-Lipschitz 且 $1$-smooth 时，我们的方法使用 $\widetilde{O}(n \epsilon^{-1/3} + \epsilon^{-2})$ 次梯度与函数评估以及 $\widetilde{O}(n \epsilon^{-4/3})$ 的额外运行时间计算出 $\epsilon$-近似解。对于大 $n$，我们的评估复杂度在多项式对数因子内最优。在每个 $f_i$ 为线性的特例——对应于在矩阵博弈中寻找近最优原始策略——我们的方法在 $\widetilde{O}(n (d/\epsilon)^{2/3} + nd + d\epsilon^{-2})$ 运行时间内找到 $\epsilon$-近似解。对于 $n>d$ 且 $\epsilon=1/\sqrt{n}$，这优于所有现有一阶方法。当进一步有 $d = \omega(n^{8/11})$ 时，我们的运行时间也优于所有已知内点法。我们的算法结合了三个新颖基元：（1）一个动态数据结构，可在小 $\ell_2$ 或 $\ell_1$ 球中高效估计随机梯度。（2）一个针对我们数据结构的镜像下降算法，实现在这些球上最小化目标的预言机。（3）一个适用于非欧几何的简单球预言机加速框架。