通过拟阵格上的莫比乌斯反演计数受限同态

我们提出了一个框架，用于对参数化计数问题进行复杂性分类，这些问题可表述为对从小模式图 H_1,...,H_l 到大宿主图 G 的同态数目求和，其限制条件为系数对应于图形拟阵格上莫比乌斯函数的求值。这推广了 Curticapean、Dell 和 Marx [STOC 17] 的思想，他们利用了 Lovász 的一个结果，该结果表明从图 H 到图 G 的子图嵌入数可以表示为对 H 的划分格上的这样一个求和。第一步，我们引入了所谓的图形受限同态，它尤其推广了子图嵌入以及局部单射同态。我们为计数此类同态提供了一个完整的参数化复杂性二分法，即识别出问题为固定参数可解（FPT）的模式类，并给出算法，同时证明所有其他模式类导致 #W[1]-难问题。证明的主要成分是 Curticapean、Dell 和 Marx [STOC 17] 对同态线性组合的复杂性分类，以及 Rota NBC 定理的一个推论，该推论指出几何格上莫比乌斯函数的符号仅取决于其参数的秩。我们使用该一般定理对计数局部单射同态以及在常数 r 的 r-邻域内单射的同态的复杂性进行分类。此外，我们通过考虑限制在两侧均为树的子图计数问题，展示了前者具有“真正的”FPT 情形。最后，我们证明计数图形受限同态的二分法可以容易地扩展到所谓的线性组合。