关于素数阶有限域中（量子）图同态的计数问题

我们研究在任意素数阶有限域 $\mathbb{Z}_p$ 中，计算从输入图 $G$ 到固定（量子）图 $\bar{H}$ 的同态数量的问题。以图 $H$ 为对象的子问题由 Faben 和 Jerrum [ToC'15] 提出，其复杂性受到一系列日益增长的研究文献关注，例如本文会议版本之后 Focke、Goldberg、Roth 和 Zivný [SIDMA'21] 以及 Bulatov 和 Kazeminia [STOC'22] 的工作。我们的贡献有三方面。首先，我们将量子图的研究引入模计数同态的研究中。我们证明量子图 $\bar{H}$ 的复杂性退化为维度 1（即图）处发现的复杂性判据。其次，为了证明难解性情形，我们建立了到二部图研究的进一步归约。最后，通过对结合局部与全局论证的透彻结构研究，我们建立了所有二部 $(K_{3,3}\backslash\{e\}$, ${domino})$-自由图的二分法。该结果包含了所有已知素数模下二部图的全部结果，并显著扩展了它们。即便对于 $p$ 等于 $2$ 的子问题，这也确立了新的结果。