大亏格随机曲面上的短测地环路与特征函数的 $L^p$ 范数

我们根据依赖于过点短测地环路数增长率的参数，给出紧双曲曲面上拉普拉斯算符特征函数 $L^p$ 范数的上界。当亏格 $g \to +\infty$ 时，我们证明关于 Weil-Petersson 体积的随机双曲曲面 $X$ 以高概率至多存在一条长度小于 $c \log g$ 的此类环路（对足够小的 $c > 0$）。这使我们能够推断，在大亏格极限下，对任一 $p > 2 + \varepsilon$（其中 $\varepsilon > 0$ 依赖于 $X$ 的谱隙 $\lambda_1(X)$），$X$ 上 $L^2$ 归一化特征函数的 $L^p$ 范数以高概率为 $O(1/\sqrt{\log g})$，其隐含常数依赖于特征值与注入半径。