离散椭圆方程随机均匀化中的最优方差估计

我们考虑 $d$ 维格点 $\mathbb{Z}^d$ 上具有最简单类型随机系数 $A$ 的离散椭圆方程：这些系数同分布且边与边之间相互独立。在远大于格距（即单位长度）的尺度上，已知解算子的行为类似于具有常值确定性系数的（连续）椭圆方程的解算子。这个对称的“均匀化”矩阵 $A_{\mathrm {hom}}=a_{\mathrm {hom}}\operatorname {Id}$ 由下式刻画：对任意方向 $\xi\in\mathbb {R}^d$，有 $\xi\cdot A_{\mathrm {hom}}\xi=\langle(\xi+\nabla\phi )\cdot A(\xi+\nabla\phi)\rangle$，其中随机场 $\phi$（“校正子”）是 $-\nabla^*\cdot A(\xi+\nabla\phi)=0$ 的唯一解，满足 $\phi(0)=0$，$\nabla\phi$ 是平稳的且 $\langle\nabla\phi\rangle=0$，$\langle\cdot\rangle$ 表示系综平均（或期望）。已知（“由遍历性”）上述能量密度 $\mathcal {E}=(\xi+\nabla\phi)\cdot A(\xi+\nabla\phi)$ 的系综平均（它是一个平稳随机场）可以通过系统平均来恢复。我们通过证明 $\mathcal {E}$ 在长度尺度 $L$ 上的空间平均的方差满足最优估计来量化这一点，即 $\operatorname {var}[\sum \mathcal {E}\eta_L]\lesssim L^{-d}$，其中平均函数 [即 $\sum\eta_L=1$，$\operatorname {supp}(\eta_L)\subset\{|x|\le L\}$] 必须是光滑的，满足 $|\nabla\eta_L|\lesssim L^{-1-d}$。在二维空间（即 $d=2$）中，存在对数修正。这个估计是最优的，因为它表明能量密度 $\mathcal {E}$ 的光滑平均随 $L$ 的衰减如同 $\mathcal {E}$ 边与边之间相互独立一样（对于 $d>1$ 并非如此）。该结果具有实际意义，因为它允许在数值计算 $a_{\mathrm {hom}}$ 时估计主导误差。