格点问题、等分布与某些算术球面的遍历定理

我们建立了集合 $$\mathbf S_{h_1, h_2, h_3}(\lambda): =\{x\in\mathbb Z_+^3:\lfloor h_1(x_1)\rfloor+\lfloor h_2(x_2)\rfloor+\lfloor h_3(x_3)\rfloor=\lambda\} \quad \text{with}\quad \lambda\in\mathbb Z_+;$$ 中格点数的渐近公式；其中函数 $h_1, h_2, h_3$ 是形式为 $h(x):=x^c\ell_h(x)$ 的正则变函数的常数倍，指数 $c>1$（但接近 $1$），函数 $\ell_h(x)$ 取自某广泛类的缓变函数。取 $h_1(x)=h_2(x)=h_3(x)=x^c$，我们亦导出集合 $$\mathbf S_{c}^3(\lambda) := \{x \in \mathbb Z^3 : \lfloor |x_1|^c \rfloor + \lfloor |x_2|^c \rfloor + \lfloor |x_3|^c \rfloor= \lambda \} \quad \text{with}\quad \lambda\in\mathbb Z_+;$$ 中格点数的渐近公式；这可视为三变量经典华林问题的扰动。我们将利用后一渐近公式研究本文的主要结果，即遍历平均 $$\frac{1}{\#\mathbf S_{c}^3(\lambda)}\sum_{n\in \mathbf S_{c}^3(\lambda)}f(T_1^{n_1}T_2^{n_2}T_3^{n_3}x) \quad \text{as}\quad \lambda\to\infty;$$ 的范数与逐点收敛，其中 $T_1, T_2, T_3:X\to X$ 是 $\sigma$-有限测度空间 $(X, \nu)$ 上交换的可逆保测变换，对任意 $f\in L^p(X)$ 且 $p>\frac{11-4c}{11-7c}$。最后，我们研究对应于球面 $\mathbf S_{c}^3(\lambda)$ 的等分布问题。