共轭类中双曲格点问题的均值结果与 Ω 结果

对于有限余体积的 Fuchsian 群 Γ，我们研究黎曼曲面 Γ\ℍ 上共轭类中的格点问题。设 ℋ 为 Γ 中的双曲共轭类，ℓ 为曲面上 ℋ-不变的闭合测地线。轨道 ℋ·z 在以 z 为中心、半径为 t 的圆内的计数函数的主渐近项按 c_ℋ·e^{t/2} 增长。该问题也与计算轨道 ℋ·z 到测地线 ℓ 的距离有关。对于 X ~ e^{t/2}，我们研究计数函数误差项 e(ℋ, X; z) 的均值结果与 Ω 结果。我们证明，误差项 e(ℋ, X; z) 的归一化版本在参数 t 上具有有限均值。此外，我们证明若 Γ 是余紧的，则 ∫_ℓ e(ℋ, X; z) ds(z) = Ω(X^{1/2} log log log X)。我们证明，若假设与一个四变量不定二次型相关的 Epstein zeta 函数满足次凸性界，则对 Γ = PSL_2(ℤ) 同样的 Ω 结果也成立。我们还研究了误差项的逐点 Ω_± 结果。我们的结果将 Phillips 和 Rudnick 关于经典格点问题的工作推广到了共轭类问题。