双曲圆问题中的局部平方均值

设 $\Gamma\subseteq PSL_2({\bf R})$ 为有限体积 Fuchsian 群。双曲圆问题是对以 $w$ 为圆心、$R$ 为半径的双曲圆内 $z$ 的 $\Gamma$-轨道元素数量的估计，其中 $z$ 和 $w$ 是上半平面的给定点，$R$ 是一个大数。已知带有 $e^{{2\over 3}R}$ 误差项的估计，且该误差项对于任何群都未被改进。Petridis 和 Risager 证明了在 $\Gamma =PSL_2({\bf Z})$ 的特殊情况下，取 $z=w$ 并对 $z$ 进行局部平均，误差项可以改进为 $e^{\left({7\over {12}}+\epsilon\right)R}$。在此，我们展示了误差项的局部 $L^2$-范数也能得到类似的改进。我们的估计为 $e^{\left({9\over {14}}+\epsilon\right)R}$，这优于逐点界 $e^{{2\over 3}R}$，但弱于 Petridis 和 Risager 针对局部平均给出的界。