双曲拉普拉斯算子实特征值的至多两个半径定理

我们研究具有负常截面曲率 $\kappa=-1/\rho^2$ 的 $(k+1)$ 维双曲空间。设 $\lambda$ 为一个实特征值，$f_{\lambda} (x)$ 为在 $x_0$ 处取非零值的双曲拉普拉斯算子的特征函数。则只要该平均值足够大，$f_{\lambda}(x)$ 在以 $x_0$ 为中心的任意球面上的平均值就足以唯一确定相应的特征值 $\lambda$。否则，为唯一确定相应特征值，我们需要确保所计算的平均值不为零，然后还需计算 $f_{\lambda}(x)$ 在同一中心点 $x_0$ 的足够小的球面上的另一个平均值。