双曲三维空间扇区中的格点计数

设 $\Gamma$ 为 $\mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{C})$ 的余紧离散子群，并用 $\mathcal{H}$ 表示三维上半空间。对于 $p\in\mathcal{H}$，我们根据轨道 $\Gamma p$ 中的点到完全测地超平面的距离 $\operatorname{arccosh} X$ 来计数其点数。Herrmann 对完全测地子流形的任意子集给出了 $n$ 维中的主项。我们通过将 Huber 和 Chatzakos-Petridis 的方法推广到三维，证明了点态误差项 $O(X^{3/2})$。通过应用 Chamizo 的大筛不等式，我们在空间方向上平均得到了猜想的误差项 $O(X^{1+\epsilon})$。我们证明了对应于径向平均的大筛不等式，并解释了为何它仅将点态界改进了 $1/6$。