上半平面乘积中的格点问题

设 $\Gamma$ 是 $\PSL_2(\RR)^d$ ($d\in\NN$) 中的一个不可约格，$z$ 是上半平面 $d$ 重直积中的一个点。我们研究由 (1) 式定义的、由分量间距离构成的离散集 ${\bf D}(\Gm,z)\subset \RR^d$。我们证明了关于 $\gm\in\Gm$ 的个数的渐近结果，其中 $d(z,\gamma z)$ 包含在某些方向扩张的条带中，也包含在扩张的超立方体中。关于扩张条带中计数的结果是新的。关于扩张超立方体的结果改进了现有的误差项 (由 Gorodnick 和 Nevo 给出)，并推广了 $d=1$ 时的 Selberg 误差项。我们给出了格点 $\gamma z$ 个数的渐近公式，其中每个因子中的双曲距离满足 $d((\gamma z)_j, z_j)\le T$。当 $T \to \infty$ 时，误差项推广了 Selberg 对 $d=1$ 给出的误差项，同时我们也描述了计数函数如何依赖于 $z$。我们还证明了当距离在某些因子中满足 $A_j \le d((\gamma z)_j, z_j) < B_j$ (其中 $A_j < B_j$ 固定)，而在其余因子中满足 $0 \le d((\gamma z)_j, z_j) \le T$ 时的渐近结果。