长程逾渗中化学距离的精确渐近行为

我们考虑 $\mathbb Z^d$ 和 $\mathbb R^d$ 上的长程逾渗实例，其中距离为 $r$ 的点以正比于 $r^{-s}$ 的概率通过一条边连接，$s\in (d,2d)$，并研究当 $|x-y|\to\infty$ 时 $x$ 与 $y$ 之间的图论（亦称化学）距离 $D(x,y)$ 的渐近行为。对于 $\mathbb Z^d$ 上的模型，我们证明，当 $|x|\to\infty$ 时，依概率，距离 $D(0,x)$ 被夹在两个正的 $(\log r)^\Delta$ 倍数之间，其中 $\Delta:=1/\log_2(1/\gamma)$，$\gamma:=s/(2d)$。对于 $\mathbb R^d$ 上的模型，我们证明，对于任意非零 $x\in\mathbb R^d$，当 $r\to\infty$ 时，依概率，$D(0,xr)$ 渐近于 $\phi(r)(\log r)^\Delta$，其中 $\phi$ 是一个正、连续（确定性）函数，对所有 $r>1$ 满足 $\phi(r^\gamma)=\phi(r)$。渐近标度的证明基于沿双指数尺度序列连续统的次可加性论证。这些结果显著加强了第一作者早先获得的结论。然而，仍有重要的开放问题存在。