关于长程渗流模型中化学距离 scaling 的性质

我们考虑在维数 d\ge1 的 Z^d 上的(无向)长程渗流,其中不同的点 x,y\in Z^d 以概率 p_{xy}\in[0,1] 相连。假设当 |x-y|\to\infty 时 p_{xy}=|x-y|^{-s+o(1)},其中 s>0 且 |\cdot| 是 Z^d 上的范数距离,并假定所得随机图包含一个无限连通分量 C_{\infty},令 D(x,y) 为在 C_{\infty} 上度量的 x 与 y 之间的图距离。我们的主要结果是,对于 s\in(d,2d),D(x,y)=(\log|x-y|)^{\Delta+o(1)},\qquad x,y\in C_{\infty}, |x-y|\to\infty,其中 \Delta^{-1} 是 2d/s 的以 2 为底的对数,且 o(1) 是当 |x-y|\to\infty 时在概率上趋于零的量。除了对一般渗流理论的意义外,该结果还澄清了近来在“小世界”现象背景下出现的一个问题。作为证明的一部分,我们还建立了有限盒中最大连通分量包含盒中所有点的正比例的严格概率界。