无限长程渗流簇的多项式增长

我们研究 $\mathbb{Z}^d$ 上的独立长程渗流，其中最近邻边始终开放，而两个满足 $\|x-y\|>1$ 的顶点 $x,y$ 由一条边连接的概率正比于 $\frac{\beta}{\|x-y\|^s}$，其中 $\beta>0$ 且 $s> 0$ 为参数。我们证明，在图度量下以原点为中心、半径为 $k$ 的球呈多项式增长当且仅当 $s\geq 2d$。对于临界情形 $s=2d$，我们证明体积增长指数与距离增长指数成反比。此外，在临界情形 $s=2d$ 下，我们给出了原点与 $ne_1$ 由长度为 $k$ 的路径相连的概率的尖锐上下界。我们利用这些结果确定了最近由 Ding、Fan 和 Huang [14] 构造的临界长程渗流度量的 Hausdorff 维数。