非顺从图上的轻微超临界渗流 II：无限簇的增长与等周性

我们在 $L^2$ 有界性条件（$p_c<p_{2\to 2}$）下研究传递非顺从图上轻微超临界 Bernoulli 键渗流中无限簇的增长与等周性。令人惊讶的是，我们发现无限簇的体积增长在 $p_c<p<p_{2\to 2}$ 区间内总是纯指数的（即增长的次指数修正有界），即便环境图具有无界指数增长修正时亦然。对略大于 $p_c$ 的 $p$，我们建立了精确估计 \begin{align*} \mathbf{E}_p \left[ \# B_\mathrm{int}(v,r) \right] &\asymp \left(r \wedge \frac{1}{p-p_c} \right)^{\phantom{2}} e^{\gamma_\mathrm{int}(p) r} \\ \mathbf{E}_p \left[ \# B_\mathrm{int}(v,r) \mid v \leftrightarrow \infty \right] &\asymp \left(r \wedge \frac{1}{p-p_c} \right)^2 e^{\gamma_\mathrm{int}(p) r} \end{align*} 对每 $v\in V$、$r \geq 0$ 及 $p_c < p \leq p_c+\delta$ 成立，其中增长率 $\gamma_\mathrm{int}(p) = \lim \frac{1}{r} \log \mathbf{E}_p\#B(v,r)$ 满足 $\gamma_\mathrm{int}(p) \asymp p-p_c$。我们还证明了在整个超临界区间成立的渗流版 Kesten-Stigum 定理，其表明无限簇的淬灭与退火指数增长率总是一致。我们将这些结果与本系列第一篇的结果结合，证明每个无限簇 $K$ 的锚定 Cheeger 常数满足 $$\frac{(p-p_c)^2}{\log[1/(p-p_c)]} \preceq \Phi^*(K) \preceq (p-p_c)^2$$ 对每 $p_c<p\leq1$ 几乎必然成立。