非顺从图上的轻微超临界渗流 I：有限簇的分布

我们研究传递非顺从图上轻微超临界（$p \downarrow p_c$）Bernoulli 边渗流中有限簇的分布，特别证明了若 $G$ 是满足 $L^2$ 有界性条件（$p_c<p_{2\to 2}$）的传递非顺从图，且 $K$ 表示原点所在簇，则存在 $\delta>0$ 使得对每 $p\in (p_c-\delta,p_c+\delta)$ 与 $n,r\geq 1$，有 $$\mathbf{P}_p(n \leq |K| < \infty) \asymp n^{-1/2} \exp\left[ -\Theta \Bigl( |p-p_c|^2 n\Bigr) \right]$$ 以及 $$\mathbf{P}_p(r \leq \operatorname{Rad}(K) < \infty) \asymp r^{-1} \exp\left[ -\Theta \Bigl( |p-p_c| r\Bigr) \right]$$，其中所有隐常数仅依赖于 $G$。我们特别推得，描述当 $p \downarrow p_c$ 时有限簇矩增长率的临界指数 $\gamma'$ 与 $\Delta'$ 分别取均值场值 $1$ 与 $2$。这些结果特别适用于非初等双曲群的 Cayley 图、与树的乘积、以及谱半径 $\rho<1/2$ 的传递图。特别地，每个有限生成非顺从群都有适用这些结果的 Cayley 图。它们对于非树的图是新的。在 $\mathbb{Z}^d$ 上即便 $d$ 很大这些对应事实仍未被理解。在本系列第二篇论文中，我们将应用这些结果研究同一设定下无限轻微超临界簇的几何与谱性质。