有限传递图上渗流相变的非平凡性

我们证明，如果 $(G_n)_{n\geq1}=((V_n,E_n))_{n\geq 1}$ 是度有界且 $|V_n|\to\infty$ 的有限顶点传递图序列，并且就某个 $\epsilon>0$ 而言至少是 $(1+\epsilon)$ 维的，即 $$\mathrm{diam} (G_n)=O\left(|V_n|^{1/(1+\epsilon)}\right) \text{ 当 $n\to\infty$}$$ 那么该图序列在 Bernoulli 边渗流上具有非平凡相变。更精确地，我们在这些条件下证明，对每个 $0<\alpha <1$，存在 $p_c(\alpha)<1$，使得对每个 $p\geq p_c(\alpha)$，在 $G_n$ 上的 Bernoulli-$p$ 边渗流以趋于 $1$ 的概率（当 $n\to \infty$ 时）拥有一个大小至少为 $\alpha |V_n|$ 的簇。事实上，我们更一般地证明存在一个通用常数 $a$，使得只要 $$\mathrm{diam} (G_n)=O\left(\frac{|V_n|}{(\log |V_n|)^a}\right) \text{ 当 $n\to\infty$}$$ 同一结论就成立。这验证了 Benjamini 的一个猜想，直至常数 $a$ 的值，他曾建议应为 $1$。我们还证明了这一结果到具有有界顶点轨道数的拟传递图序列的推广，并证明当图 $G_n$ 均为阿贝尔群的 Cayley 图时，确实可取 $a=1$。我们证明中的一个关键步骤是将 Duminil-Copin、Goswami、Raoufi、Severo 和 Yadin 的方法从无限图适配到有限图。这一适配也导出了一个无限图具有非平凡唯一性相（即具有 $p_u<1$）的等周准则，这具有独立意义。我们还证明无限拟传递图临界概率的可能值集合在 $1$ 处有一个间隙，即对每个 $k,n<\infty$，存在 $\epsilon>0$，使得每个度至多为 $k$ 且其顶点集在 Aut$(G)$ 下至多有 $n$ 个轨道的无限图 $G$ 要么有 $p_c=1$，要么有 $p_c\leq 1-\epsilon$。