拟传递图上无序随机网络的相变

给定体积增长率为 ${\rm gr}(G)$ 的拟传递无限图 $G$、偏置 $\lambda_1\in (0,\,{\rm gr}(G))$ 的暂态偏置电网 $(G,\, c_1)$ 与偏置 $\lambda_2\in ({\rm gr}(G),\infty)$ 的常返偏置电网 $(G,\, c_2)$。记 $G(p)$ 为由大耦合定义的 $G$ 上 Bernoulli-$p$ 边渗流。令 $(G,\, c_1,\, c_2,\, p)$ 为如下偏置无序随机网络：$G(p)$ 中开通边 $e$ 取电导 $c_1(e)$，闭合边 $g$ 取电导 $c_2(g)$。我们的主要结果如下：(i) 在渗流阈值 $p_c\in (0,\, 1)$ 的连通拟传递无限图 $G$ 上，$(G,\, c_1,\, c_2,\, p)$ 具有非平凡的常返/暂态相变，使得确定性阈值 $p_{c}^{*}\in (0,\, 1)$，且几乎必然地 $(G,\, c_1,\, c_2,\, p)$ 在 $p<p_c^*$ 时常返、在 $p>p_c^*$ 时暂态。$G$ 为 Cayley 图时 $(G,\, c_1,\, c_2,\, p)$ 存在非平凡常返/暂态相变当且仅当相应群非 virtually $\mathbb{Z}$。(ii) 在任意 $d\geq 1$ 的 $\mathbb{Z}^d$ 上，$p_c^{*}= p_c$。而在 $d\geq 3$ 的 $d$-正则树 $\mathbb{T}^d$ 上，$p_c^{*}=(\lambda_1\vee 1) p_c$，从而对任何 $\lambda_1\in (1,\,{\rm gr}(\mathbb{T}^d))$ 有 $p_c^{*}>p_c$。作为对比，我们还考虑了 $(\mathbb{Z}^d,\, c_1,\, c_2,\, p)$（$d\geq 2$）是否存在唯一电流的相变，并证明几乎必然地带 $\lambda_1<1\leq\lambda_2$ 的 $(\mathbb{Z}^2,\, c_1,\, c_2,\, p)$ 对任意 $p\in [0,1]$ 具有唯一电流。