有限传递图上的超临界渗流 I：巨分支的唯一性

设 $(G_n)_{n \geq 1} = ((V_n,E_n))_{n \geq 1}$ 为体积趋于无穷的有限、连通、顶点传递图序列。若对某个 $\varepsilon >0$ 和 $N<\infty$，有 $$\mathbb P_{(1-\varepsilon)p_n}^{G_n} \left( \text{最大簇包含至少 $\varepsilon |V_n|$ 个顶点}\right) \geq \varepsilon$$ 对所有 $n\geq N$ 且 $p_n <1$ 成立，则称参数序列 $(p_n)_{n \geq 1} \in [0,1]$ 关于伯努利边渗流 $\mathbb P_p^G$ 是超临界的。我们证明，若 $(G_n)_{n \geq 1}$ 是稀疏的，即度关于顶点数亚线性，则超临界巨簇以高概率唯一，在如下意义下：若 $(p_n)_{n \geq 1}$ 超临界，则对每个 $c>0$ 有 $$\lim_{n\to\infty}\mathbb P_{p_n}^{G_n} \left( \text{第二大簇包含至少 $c|V_n|$ 个顶点} \right) = 0$$ 。即使在 $(G_n)_{n \geq 1}$ 具有一致有界顶点度的更强假设下，该结果也是新的，此时它验证了 Benjamini（2001）的一个猜想。以往许多作者的工作已在完全图、环面、超立方体和有界度扩张图上建立了同一定理，各自使用了高度依赖于其所处理例子的方法。我们还给出了稠密顶点传递图超临界唯一性问题的完整解，建立了唯一性成立的一个简单充要条件——等周条件。