无限长程逾渗簇的增长

我们考虑$\mathbb{Z}^d$上的长程逾渗，其中距离为$r$的两个顶点由边连接的概率为$p(r)=1-\exp[-\lambda(r)]\in(0,1)$，且不同边的存在与否是独立的。这里，$\lambda(r)$是一个严格正、非增、正则变化函数。我们研究了原点周围$k$球的大小$|\mathcal{B}_k|$（即与原点图距离不超过$k$的顶点数）在$k\to\infty$时的渐近增长，针对不同的$\lambda(r)$。我们证明，在原点位于（唯一）无限簇的条件下，存在非增正则变化$\lambda(r)$的非空类别，分别满足：$\bullet$ $|\mathcal{B}_k|^{1/k}\to\infty$几乎必然；$\bullet$ 存在$1<a_1<a_2<\infty$使得$\lim_{k\to \infty}\mathbb{P}(a_1<|\mathcal{B}_k|^{1/k}<a_2)=1$；$\bullet$ $|\mathcal{B}_k|^{1/k}\to1$几乎必然。该结果可应用于空间SIR流行病。特别地，我们识别了基本再生数$R_0$（非结构化种群流行病中的一个重要量）在空间流行病中具有有用对应物的区域。