所有维度下 $\frac{1}{|x-y|^{2d}}$ 渗流模型中的距离

我们研究所有维度 $d$ 下 $\mathbb{Z}^d$ 上的独立长程渗流，其中当 $\|u-v\|_\infty=1$ 时顶点 $u$ 与 $v$ 以概率 1 相连，而当 $\|u-v\|_\infty \geq 2$ 时以概率 $p(\beta,\{u,v\})=1-e^{-\beta \int_{u+\left[0,1\right)^d} \int_{v+\left[0,1\right)^d} \frac{1}{\|x-y\|_2^{2d}}d x d y } \approx \frac{\beta}{\|u-v\|_2^{2d}}$ 相连。令 $u \in \mathbb{Z}^d$ 为满足 $\|u\|_\infty=n$ 的点。我们证明原点 $\mathbf{0}$ 与 $u$ 之间的图距离 $D(\mathbf{0},u)$ 以及盒子 $\{0 ,\ldots, n\}^d$ 的直径均以 $n^{\theta(\beta)}$ 的速度增长，其中 $0<\theta(\beta ) < 1$。我们还证明，当两个顶点 $u,v$ 满足 $\|u-v\|_2 > 1$ 且相连概率足够接近 $p(\beta,\{u,v\})$ 时，图距离与盒子直径具有相同的渐近增长。此外，我们确定了大 $\beta$ 下 $\theta(\beta)$ 的渐近行为，并讨论了 $\frac{D(\mathbf{0},u)}{\|u\|_2^{\theta(\beta)}}$ 的尾部行为。