一维临界长程 percolation 中有效电阻的多项式增长

我们研究了定义在 $\mathbb{Z}$ 上的临界长程 percolation 模型：当 $|i-j|>1$ 时，边 $(i,j)$ 以概率 $1-\exp\{\beta\int_i^{i+1}\int_j^{j+1}|u-v|^{-2}{\rm d} u{\rm d} v\}$ 独立地相连（其中 $\beta>0$ 为固定参数），当 $|i-j|=1$ 时以概率 1 相连。将其视为每个边都有单位电导的随机电网络，我们证明了从 0 到 $[-n,n]^c$ 以及从 $[-n,n]$ 到 $[-2n,2n]^c$（条件为 $[-n,n]$ 与 $[-2n,2n]^c$ 之间无边相连）的有效电阻均像 $n^{\delta(\beta)}$ 增长，其中 $\delta(\beta)\in (0,1)$。