$\mathbb Z^d$ 上长程渗流中化学距离的算术振荡

我们考虑 $\mathbb Z^d$ 上的长程渗流图，其中除 $\mathbb Z^d$ 的最近邻边外，不同的 $x,y\in\mathbb Z^d$ 以渐近于 $\beta|x-y|^{-s}$ 的概率独立连边，其中 $s\in(d,2d)$、$\beta>0$ 且 $|\cdot|$ 为 $\mathbb R^d$ 上的范数。我们首先证明，对除可数多个 $\beta>0$ 外的所有值，典型顶点间 $|\cdot|$ 距离为 $r$ 的图论（亦称化学）距离在 $r\to\infty$ 时以高概率渐近于 $\phi_\beta(r)(\log r)^\Delta$，其中 $\Delta^{-1}:=\log_2(2d/s)$ 且 $\phi_\beta$ 为正、有界且连续的函数，并满足 $\phi_\beta(r^\gamma)=\phi_\beta(r)$，这里 $\gamma:=s/(2d)$。证明平行于该模型的连续版本，其中首位作者与 J. Lin 早前展示了类似标度。该工作亦猜想 $\phi_\beta$ 为常数，我们证明此猜想为假：证明 $(\log\beta)^\Delta\phi_\beta$ 当 $\beta\to\infty$ 时趋于一个依赖于模型具体细节的非恒定极限。证明揭示了最短路径的算术刚性，其在直至单位尺度的全过程中保持层次（二进）结构。