具有正则变化直径的 Poisson Boolean 模型中的化学距离

我们研究具有旋转不变分布的凸体的 Poisson Boolean 模型。假设凸体具有指数为 $-\alpha_1\geq \dots\geq-\alpha_d$ 的正则变化直径，其中对所有 $k\in\{1,\dots,d\}$ 有 $\alpha_k >0$。已知模型鲁棒性（即无论底层 Poisson 过程的强度如何，凸体的并集均存在无界连通分支）的一个充分条件是存在某个 $k\in\{1,\dots,d\}$ 使得 $\alpha_k<\min\{2k,d\}$。为避免该连通分支几乎必然覆盖整个 $\mathbb{R}^d$，我们还要求对所有 $k\in\{1,\dots,d\}$ 均有 $\alpha_k> k$。我们证明，在这些假设下，当 $|x-y|\rightarrow \infty$ 时，两个相距甚远的顶点 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 之间的化学距离表现为 $c\log\log|x-y|$，其中常数 $c$ 是显式的且非常令人意外，它仅依赖于模型参数。我们进一步证明，如果存在 $k$ 使得 $\alpha_k\leq k$，则对所有 $c>0$，化学距离均小于 $c\log\log|x-y|$；如果对所有 $k$ 均有 $\alpha_k\geq\min\{2k,d\}$，则对所有 $c>0$，化学距离均大于 $c\log\log|x-y|$。