高维平滑高斯场中的化学距离

高斯 percolation 可视为标准 Bernoulli percolation 在 $\mathbb{Z}^d$ 上的推广。我们考虑连续高斯场 $f$，研究随机浸出集 $\mathcal{E}_\ell(f) := \{x\in \mathbb{R}^d\ |\ f(x)\geq -\ell\}$ 的拓扑与几何性质，其中 $\ell\in \mathbb{R}$ 为水平面。已知对于广泛的场 $f$，在某个临界水平面 $\ell_c$ 处存在相变：当 $\ell>\ell_c$ 时，浸出集 $\mathcal{E}_\ell(f)$ 包含唯一的无界连通分量；当 $\ell<\ell_c$ 时仅存在有限连通分量。在超临界 regime $\ell>\ell_c$ 中，我们研究无界簇的几何结构。借鉴 Peter Antal 和 Agoston Pisztora 对于 Bernoulli 模型的工作 \cite{Antal}，我们引入两个点 $x$ 与 $y$ 之间的化学距离，定义为保持在 $\mathcal{E}_\ell(f)$ 内连接这两个点的最短路径的欧几里得长度。本文证明，当 $\ell>\ell_c$ 时，两个点之间的化学距离在高概率下接近它们之间的欧几里得距离。