泊松多项分布的结构、覆盖与学习

一个 $(n,k)$-泊松多项分布（PMD）是 $n$ 个独立随机向量之和的分布，这些向量支撑于 $\mathbb{R}^k$ 中标准基向量集合 ${\cal B}_k=\{e_1,\ldots,e_k\}$ 上。我们证明了这些分布的一个结构刻画，表明对于所有 $\varepsilon >0$，任何 $(n, k)$-泊松多项随机向量在总变距离（total variation distance）上 $\varepsilon$-接近于一个离散化多维高斯和一个独立的 $(\text{poly}(k/\varepsilon), k)$-泊松多项随机向量之和。我们的结构刻画推广了Valiant和Valiant的多维中心极限定理（CLT），同时适用于所有近似要求 $\varepsilon$。特别地，它克服了依赖于 $\log n$ 的因子，并且重要的是，克服了PMD协方差矩阵的最小特征值到多维高斯随机变量的距离。我们利用我们的结构刻画获得了所有 $(n, k)$-PMD集合在总变距离上的一个 $\varepsilon$-覆盖，显著改进了Daskalakis和Papadimitriou的覆盖大小，并获得了与Daskalakis和Papadimitriou的 $k=2$ 覆盖在覆盖大小对 $n$ 和 $\varepsilon$ 的依赖上相同的定性。我们进一步利用该结构表明，$(n,k)$-PMD可以从 $\tilde{O}_k(1/\varepsilon^2)$ 个样本中学习到总变距离内 $\varepsilon$ 精度，这在依赖于 $\varepsilon$ 和独立于 $n$ 的意义下是近最优的。特别地，我们的结果将Daskalakis、Diakonikolas和Servedio针对泊松二项分布的单一维度结果推广到了任意维度。