k 阶泊松分布概率质量函数的结构

k 阶泊松分布是复合泊松分布的一个特例。当 $k=1$ 时，它是标准泊松分布。尽管其概率质量函数（pmf）已知，但缺乏一种直观的（visual）解释，而带有阶乘分母的各项求和并不能提供这种解释。与标准泊松分布不同，k 阶泊松分布作为两个参数的函数——阶数 $k$ 与速率参数 $\lambda$——可同时呈现最多四个（four）峰值。本注记刻画了 k 阶泊松分布概率质量函数的形状。该 pmf 可划分为：$n=0$ 处的单点、$n \in [1,k]$ 的递增序列，以及 $n>k$ 的群山状结构（文中解释）。文中描绘了该 pmf 的“参数空间”并解释了各区域的意义，特别是跨越区域边界时 pmf 行为的变化。一个简单类比（诚然无关）是实系数二次式的判别式：其区域刻画了根的性质（实根或复根），而区域边界意味着重根的存在。k 阶泊松分布的 pmf 也发生类似情形。作为一个应用，本注记解释了 k 阶泊松分布的众数结构。此外还推导了对若干不等式的改进（更紧的界等）。并提出了关于中位数与众数的新猜想上下界。