泊松多项分布的无尺寸中心极限定理及其应用

一个$(n,k)$-泊松多项分布(PMD)是$n$个独立随机向量之和的分布，这些向量支撑于$\mathbb{R}^k$中标准基向量集合${\cal B}_k=\{e_1,\ldots,e_k\}$上。我们证明任意$(n,k)$-PMD在总变异距离上以${\rm poly}\left({k\over \sigma}\right)$的接近度逼近具有相同前两阶矩的（适当离散化的）多维高斯分布，从而去除了Valiant与Valiant中心极限定理中对$n$的依赖。有趣的是，我们的CLT是通过借助Daskalakis、Kamath与Tzamos近期工作中所展示的PMD结构表征，对Valiant-Valiant CLT自身进行bootstrap而得到。进而，我们更强的CLT可被用以在匿名博弈中获得近似纳什均衡的高效PTAS，显著改进了现有技术水准，并在定性上匹配已知最优双策略匿名博弈算法关于$n$与$1/\varepsilon$的运行时间依赖关系。我们的新CLT还使得能为$(n,k)$-PMD集合构造覆盖，这些覆盖是恰当的，且证明其大小基本最优。我们的覆盖构造将CLT与Shapley-Folkman定理以及Batson、Spielman和Srivastava近期关于拉普拉斯矩阵稀疏化的结果相结合。我们的覆盖大小下界基于一个代数几何构造。最后，利用PMD傅里叶谱的结构性质，我们证明这些分布可从$O_k(1/\varepsilon^2)$个样本中以${\rm poly}_k(1/\varepsilon)$时间学习得到，从而去除了Daskalakis、Kamath与Tzamos算法中运行时间对$1/\varepsilon$的拟多项式依赖。