泊松多项分布的傅里叶变换及其算法应用

一个 $(n, k)$-泊松多项分布（PMD）是形如 $X = \sum_{i=1}^n X_i$ 的随机变量，其中 $X_i$ 是独立随机向量，支撑在 $\mathbb{R}^k$ 中的标准基向量集合上。在本文中，我们通过分析其傅里叶变换获得了对 PMD 的精细化结构理解。作为核心结构结果，我们证明了 PMD 的傅里叶变换是近似稀疏的，即粗略地说，其 $L_1$-范数在一个小集合之外很小。基于这一结果，我们获得了以下应用：**学习理论。** 我们设计了首个关于总变差距离对 PMD 进行计算高效学习的算法。我们的算法以近最优样本量 $\widetilde{O}_k(1/\epsilon^2)$ 学习任意 $(n, k)$-PMD，运行时间为 $\widetilde{O}_k(1/\epsilon^2) \cdot \log n$。此前，即使对 $k=3$ 也没有已知的具有 $\mathrm{poly}(1/\epsilon)$ 运行时的算法。**博弈论。** 我们给出了首个计算匿名博弈中纳什均衡的高效多项式时间近似方案（EPTAS）。对于具有 $n$ 个玩家和 $k$ 个策略的标准化匿名博弈，我们的算法在时间 $n^{O(k^3)} \cdot (k/\epsilon)^{O(k^3\log(k/\epsilon)/\log\log(k/\epsilon))^{k-1}}$ 内计算出一个良好支撑的 $\epsilon$-纳什均衡。此问题此前最优算法的运行时间为 $n^{(f(k)/\epsilon)^k}$，其中 $f(k) = \Omega(k^{k^2})$，对任意 $k>2$。**统计学。** 我们证明了一个多元中心极限定理（CLT），将任意 PMD 与具有相同均值和协方差的分段多元高斯分布在总变差距离下关联起来。我们的新 CLT 通过完全去除误差界中对 $n$ 的依赖，加强了 Valiant 和 Valiant 的 CLT。