平方格的极值性质

受 Faulhuber-Steinerberger 2019 年结果的启发，我们证明实平方格 $\mathbb{Z}^2$ 展现出与六角格 $\Lambda$ 相同的局部极值性质，即自然基本域的“深洞”到格点的距离在扰动下增加。若 $\Delta$ 是单模格空间中 $\mathbb{Z}^2$ 的一个小扰动，考虑 $A_r$ 中平移到 $\Delta$ 的点集 $C_r$。若 $\Delta$ 是相对于欧氏度量的格 $\mathbb{Z}^2$ 的扰动，则对固定的深洞 $p$，格点到 $p$ 的累计总距离严格增加，并被一个依赖于格与其扰动之间距离的函数从下方界定。此外，我们表明该增长在凸函数下近似保持。