六角晶格的一个极值性质

我们描述了六角晶格 $\Lambda \subset \mathbb{R}^2$ 的一个极值性质。令 $p$ 为其基本三角形（所谓深洞）的外心，并令 $A_r$ 表示与 $p$ 距离为 $r$ 的晶格点集合 \begin{equation} A_r = \left\{ \lambda \in \Lambda: \| \lambda - p \| = r\right\}. \end{equation} 若 $\Gamma$ 是 $\Lambda$ 在固定密度晶格空间中的一个小扰动，且 $C_r$ 表示 $A_r$ 中移至新晶格的点集，则 \begin{equation} \sum_{\mu \in C_r}{ \| p - \mu\|} - \sum_{\lambda \in A_r}{ \| p - \lambda\|} \gtrsim r \, |A_r| \, d(\Lambda, \Gamma)^2, \end{equation} 其中 $d(\Lambda, \Gamma)$ 表示两晶格间的距离：六角晶格具有“远处点比邻近晶格更近”的性质。这在变分法中有如下推论：假设 \begin{equation} g_{\Gamma}(z) = \sum_{\gamma \in \Gamma} f( \|z - \gamma \|) \quad \mbox{ 满足 } \quad \min_{z \in \mathbb{R}^2} g_{\Lambda}(z) = g_{\Lambda}(p). \end{equation} 对于某一类紧支撑函数 $f$，六角晶格 $\Lambda$ 便是 \begin{equation} \max_{\Gamma} \min_{z \in \mathbb{R}^2} \sum_{\gamma \in \Gamma}{f( \|z - \gamma\| )}, \end{equation} 在固定密度所有晶格上取最大值时的严格局部极大点。