Zimmer 猜想：次指数增长、测度刚性与强性质 (T)

我们证明了 Zimmer 猜想在高等秩余紧格作用于低维流形上的若干情形。例如，若 $\Gamma$ 是 $\mathrm{Sl}(n, \mathbb R)$ 中的余紧格，$M$ 是紧致流形，$\omega$ 是 $M$ 上的体积形式，我们证明任何同态 $\rho\colon \Gamma \rightarrow \mathrm{Diff}(M)$ 在 $M$ 的维数小于 $n-1$ 时具有有限像，且任何同态 $\rho\colon \Gamma \rightarrow \mathrm{Diff}(M,\omega)$ 在 $M$ 的维数小于 $n$ 时具有有限像。证明的关键步骤是证明任何此类作用具有导数的均匀次指数增长。这是利用高等秩阿贝尔群的光滑遍历理论、半单群的结构理论以及齐性动力系统的结果建立的。在建立了导数的均匀次指数增长后，我们应用 Lafforgue 的强性质 (T) 来确立一个不变黎曼度量的存在性。