关于 Littlewood 猜想的一个推广

我们提出了 $\mathbb{R}^d$（$d \ge 2$）中的一类格点，称之为 GL 格点，并猜想任何格点都是如此。该猜想被称为 GLC。Littlewood 猜想等价于说 $\mathbb{Z}^2$ 是 GL 的。然后我们通过首先建立可能例外集合的维数界限，证明了 GL 格点的存在性。利用类似的方法，证明了 $\mathbb{R}^d$ 中具有特殊丢番图性质的向量（GL 向量）的存在性。对于维数 $d \ge 3$，我们给出了 GL 格点的显式构造（实际上是一个更强的性质）。我们还证明了 GLC 可由 G. A. Margulis 关于对角群有界轨道的猜想推出。这些方法的统一主题是利用动力学中的刚性结果，推导丢番图逼近或数的几何中的结果。