复双曲空间中格点的积分公式与渐近行为

本文处理与复双曲空间 $\mathbb{C} H^n$ 中运动离散子群 $\Gamma$ 相关的 $\Gamma$-格点问题。我们给出复双曲空间 $\mathbb{C} H^n$ 中半径为 $T$ 的球内 $\Gamma$-格点数目 $N(T, z, z')$ 的局部平均的两个积分公式。第一个用 $\mathbb{C} H^n$ 上 $\Gamma$-自守波方程的解表示，第二个用 $\Gamma$-自守边界条件下拉普拉斯-贝尔特拉米算子的谱函数表示。我们利用所得积分公式得到当 $T\rightarrow \infty$ 时数目 $N(T, z, z')$ 的渐近行为，并给出余项估计。我们的主要工具是复双曲空间上波方程的显式解、特殊函数以及 $\Gamma$ 自守边界条件下拉普拉斯-贝尔特拉米算子的谱理论。