关于双曲空间中的亥姆霍兹方程及 Strichartz 估计的反例

在本文中，我们研究双曲空间 $\mathbb{H}^N$（$N\geq 2$）中的非线性亥姆霍兹方程 (NLH) $-\Delta_{\mathbb{H}^N} u - \frac{(N-1)^2}{4} u -\lambda^2 u = \Gamma|u|^{p-2}u$，其中 $\Delta_{\mathbb{H}^N}$ 表示双曲空间 $\mathbb{H}^N$ 中的 Laplace-Beltrami 算子，$\Gamma\in L^\infty(\mathbb{H}^N)$ 被适当选取。利用不动点与变分技术，我们为所有 $\lambda>0$ 与 $p>2$ 找到 (NLH) 的非平凡解。分析了径向解的振荡行为与衰减率，并可能推广至 Cartan-Hadamard 流形与 Damek-Ricci 空间。我们的结果依赖于双曲空间 $\mathbb{H}^N$ 中亥姆霍兹算子的一个新的极限吸收原理。作为副产品，我们获得了某些 Strichartz 估计的简单反例。