具有 $L^p$ 数据与 Bochner-Riesz 乘子的 Helmholtz 方程

我们证明了在 ${\mathbb R}^n$ 中 Helmholtz 方程 $(-\Delta - 1)u = f$ 的 $L^2$ 解的存在性，假设给定数据 $f$ 属于 $L^{(2n+2)/(n+5)}({\mathbb R}^n)$ 并满足“$\hat{f}$ 在单位球面上消失”的“Fredholm 条件”。这一问题以及扰动 Helmholtz 方程 $(-\Delta -1)u = -Vu + f$ 的类似结果，与薛定谔算子的极限吸收原理相关。随后使用相同技术证明，若考虑 Bochner-Riesz 乘子在傅里叶变换于单位球面上消失的函数闭子空间上的作用，则该类乘子的一系列 $L^p \mapsto L^q$ 估计得到改进。